一次家庭作业意外搞定40年前的数学猜想只研究了几个礼拜

发布时间：2022-03-13 15:53 所属栏目：15 来源：互联网

导读：只是完成一次普通家庭作业，就把困扰了数学家们几十年的猜想搞出了新花样？！没错，这是来自牛津大学的Thomas Bloom的亲身经历。在一次阅读小组的论文分享上，他被要求解读一篇2003年发表在《数学年刊》上的经典论文。这篇论文证明了一个与最古老数学问题

只是完成一次普通家庭作业，就把困扰了数学家们几十年的猜想搞出了新花样？！

没错，这是来自牛津大学的Thomas Bloom的亲身经历。

在一次阅读小组的论文分享上，他被要求解读一篇2003年发表在《数学年刊》上的经典论文。

这篇论文证明了一个与“最古老数学问题”埃及分数有关的猜想。

简单来说，猜想认为：将大于1的整数任意分成有限个子集，必然有一个子集中的部分整数倒数加起来为1，例如只要有一个子集中有2、3、6，就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

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这一猜想被命名为Erd?s-Graham猜想。

然而，这版2003年的证明还有很多待解决的疑惑：

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Thomas Bloom在解读论文的过程中，也发现这版证明对子集的要求有点高，很多特殊情况下没办法成立。

再仔细一看，他突然发现，这版证明还存在着可以继续改善的地方！

于是借着这次交作业的机会，Thomas Bloom在这篇论文的基础上提出了一种“强化版”证明思路，整个过程甚至只用了几周时间。

就连数论领域著名学者、蒙特利尔大学教授Andrew Granvill都感叹这种做法的不可思议：此前我只是觉得，这是一个不可能被解决的问题，任何头脑正常的人都没法做到。

所以，这一猜想究竟是什么，Bloom的证明方法又究竟“不可思议”在哪里？

一个与“最古老数学问题”有关的猜想

在数学里，任意有理数都可以表示成分数，且分子分母都是整数。

但是在3000多年前的古埃及，他们的分数只有分子为1一种情况，我们现在叫它单位分数。

也就是说，他们的字典里没有“3/4”这类东西，因为3/4也需要被写成1/4+1/2。

古埃及的文字里，一只眼睛下面放一个数字就代表了一个单位分数。

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从1到100万都有相应的图形。

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虽然它和我们现在的数学相去甚远，但其实所有分数都可以写成单位分数之和的形式。

因此这种表示方法被称作古埃及分数。

显然，1也可以写成古埃及分数：1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

这个看似简单的问题经久不衰，1970年代，著名数学家Paul Erd?s和Ronald Graham提出了一个关于古埃及分数的猜想：把正整数划分成若干个子集，那么必然有一个子集中存在一组数，可以把1表示成古埃及分数形式。

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△从左至右依次为Paul Erd?s和Ronald Graham夫妇

（注：Ronald Graham中文名“葛立恒”，就是提出葛立恒数的那位数学家。）

比如上面的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6，某个子集中包含这2、3、6这三个数，就可以做到。

那么如果很不巧，2、3、6被分配到不同的子集中，还可以把1拆成古埃及分数形式吗？

其实也是可以的，包含{2、3、12、18、36}一组整数也行：

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表示1的方法千千万，总有符合条件一组数满足条件。

达特茅斯学院的数论学者Carl Pomerance对此评价道：“这可能是有史以来最古老的问题。”

没想到的是，这个最古老的问题最近又发出新芽。

来自牛津大学的数学家Thomas Bloom最近不但提出了比Erd?s更厉害的“强化版”，还亲自证明了它。

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几周就证明了一个“加强版”

那篇近20年前的论文，由一位名叫Ernie Croot的数学家撰写，2003年发表在数学领域顶级期刊《数学年刊》上。

他解决Erd?s-Graham问题的“基础版本”。

把所有整数随机分配到不同的桶里，至少有一个桶必须包含一组整数，其倒数和等于1。

Bloom仔细阅读后发现，Croot的方法实际上比最初看起来更强大：“所以我研究了几周，这个更强大的结果就出来了。”

Bloom给出的结论是，并不需要把整数分成若干个有限集合，只要集合满足“正密度”的条件，那么这个集合就存在一组整数倒数和为1。

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所谓“正密度”是指某一组整数在全体正整数里所占的比例，比如偶数的密度是0.5。

假如有一组整数集合记作A，在前n项中不大于n的项记作α，当n趋于无穷大时，α/n极限就是叫做A的自然密度。

而Bloom提出而条件是密度大于零即可，无论这个密度多低（10%、1%、0.0001%甚至更低），这显然比把整数分成有限份的条件更加苛刻。

嗯，充分说明哪怕是“读论文”这种科研作业，也要认真一点，说不定读着读着灵感就来了（手动狗头）。

（编辑：ASP站长网）