计算机证明推倒了欧拉流体方程

发布时间：2022-11-21 09:28 所属栏目：16 来源：互联网

导读：几个世纪以来，数学家们一直试图理解和模拟流体的运动。流体方程也帮助研究人员预测天气，设计更好的飞机，描述血液如何流经循环系统。当用正确的数学语言写出这些方程时，它们看起来很简单。然而，它们的解是如此复杂，以至于即使是关于它们的基本问题也很

　　几个世纪以来，数学家们一直试图理解和模拟流体的运动。流体方程也帮助研究人员预测天气，设计更好的飞机，描述血液如何流经循环系统。当用正确的数学语言写出这些方程时，它们看起来很简单。然而，它们的解是如此复杂，以至于即使是关于它们的基本问题也很难理解。

　　数学的困难在于，我们甚至不知道一个简单的流体方程是否有解

　　这些方程中最古老和最突出的一个是250多年前由莱昂哈德·欧拉提出的，它描述了一种理想的不可压缩流体的流动。几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的。

　　然而，关于欧拉方程还有很多未知之处，包括它们是否总是理想流体流动的精确模型。流体动力学的核心问题之一是弄清楚这些方程是否会失败，输出无意义的值，使它们无法预测流体未来的状态。

　　数学家们长期以来一直怀疑存在导致方程失效的初始条件。但他们无法证明这一点。

　　在上个月发布在网上的预印本中，两位数学家证明了欧拉方程的一个特定版本有时确实会失败。这一证明标志着一个重大突破——虽然它没有完全解决更一般版本的方程的问题，但它给我们带来了希望，更一般的突破最终是可以实现的。

　　长达177页的论文大量使用了计算机。可以说，这使得其他数学家很难验证它。这也迫使他们思考一些哲学问题，比如什么是“证明”，以及如果解决这些重要问题的唯一可行方法是借助计算机的帮助，这意味着什么。

　　发现奇点

　　原则上，如果你知道流体中每个粒子的位置和速度，欧拉方程应该能够预测流体将如何一直演变。但数学家们想知道事实是否如此。也许在某些情况下，方程会按照预期进行，在任何给定时刻产生流体状态的精确值，只有其中一个值会突然飙升到无穷大。在这一点上，欧拉方程被认为产生了一个“奇点”。

　　一旦它们到达奇点，这些方程就不能再计算流体的流量了。“但就在几年前，人们所能做的还远远不够（证明奇点）”，普林斯顿大学的数学家查理·费弗曼说。

　　如果你试图模拟一种具有粘性的流体（所有现实世界的流体），情况就会变得更加复杂。纳维和斯托克斯改进了欧拉方程，使之适用于黏性流体。他们得到的方程被称为纳维-斯托克斯方程。到现在，数学家甚至不知道纳维-斯托克斯方程是否有解。

　　2013年，加州理工学院的数学家托马斯·侯（Thomas Hou）和香港恒生大学的Guo Luo提出了一种情况，即欧拉方程会导致一个奇点。他们开发了一种计算机模拟圆柱体中的流体，该流体的上半部分顺时针旋转，下半部分逆时针旋转。当他们进行模拟时，更复杂的流体开始上下移动。这反过来又导致了沿着圆柱体边界的奇怪行为，在那里相反的流体相遇。流体的涡量增长得如此之快，以至于它似乎随时都可能“爆炸（产生奇点）”。

　　这一研究具有启发性，但不是真正的证据。这是因为计算机不可能计算出无限的值。它可以非常接近地看到奇点，但它不能真正到达奇点。如果没有数学证明的支持，涡量的值可能只会因为模拟的某种假像而看起来增加到无穷大。模拟会表明方程中的一个值“爆炸”了，但更复杂的计算方法会显示相反的结果。

　　尽管如此，大多数数学家认为侯和Luo的发现很可能是一个真正的奇点。但证据很难找到。

　　证明奇点

　　现在，在第一次发现奇点9年后，侯和他以前的研究生陈佳杰终于成功地证明了附近奇点的存在。

　　侯利用了这样一个事实：经过仔细分析，2013年的近似解似乎有一个特殊的结构。随着时间的推移，这些方程的解呈现出一种所谓的自相似模式，它的形状看起来很像它早期的形状，只是以一种特定的方式重新缩放。

　　在研究这个问题近十年后，加州理工学院的数学家托马斯·侯证明，欧拉方程可以在特定情况下发展出一个奇点。现在，他把目光投向了更大的问题。
　　因此，数学家们不需要尝试去观察奇点本身。相反，他们可以通过关注更早的时间点来间接地研究它。通过以正确的速率放大解的这部分（这是由解的自相似结构决定的），他们可以模拟之后会发生什么，包括在奇点本身。

　　有了一个近似的自相似解，侯和陈需要证明附近存在一个精确解。在数学上，这相当于证明它们的近似自相似解是稳定的。

　　但制定一个总体战略只是解决方案的一步。繁琐的细节很重要。在接下来的几年里，侯和陈花了很多时间研究这些细节，他们发现他们不得不再次依靠电脑，但这一次是以一种全新的方式。

　　人机合作

　　他们面临的第一个挑战是找出他们必须证明的确切命题。他们想要证明的是，如果取一组接近其近似解的值并将其代入方程，输出不会偏离太远。但是输入“接近”近似解意味着什么呢？他们必须用数学表述来说明这一点，但在这种情况下，有很多方法来定义距离的概念。

　　一旦他们有了描述“接近性”的正确方法，侯和陈就必须证明这一命题，这可以归结为一个复杂的不等式，包括重新缩放的方程和近似解的项。数学家们必须确保所有这些项的值都平衡到一个非常小的值。

　　为了在所有这些不同的条件下得到他们需要的紧边界，侯和陈把不等式分成两个主要部分。他们可以用手工处理第一部分。第二部分需要计算机的帮助。首先，有太多的计算需要做，需要很高的精确度，这些问题对计算机来说相对容易。

　　但由于计算机不能处理无限数量的数字，微小的错误不可避免地会发生。侯和陈必须小心地跟踪这些错误，以确保它们不会干扰到其他的平衡行为。最终，他们找到了所有项的边界，完成了证明：方程确实产生了一个奇点。

　　电脑证明

　　更复杂的方程——不存在圆柱边界的欧拉方程和纳维埃-斯托克斯方程——是否能产生奇点仍然是一个未知数。

　　但这至少给了我希望。我看到了一条前进的道路，甚至有可能最终解决整个千禧问题（纳维-斯托克斯方程可解性问题）。
　　与此同时，研究人员正在研究计算机辅助证明，他们希望，计算机不仅能够帮助解决特定流体方程的奇点问题，还能够解决其他几十个问题。这些努力标志着流体动力学领域一个日益增长的趋势：使用计算机解决重要问题。

　　但是在流体力学中，计算机辅助证明仍然是一种相对较新的技术。数学家们普遍认为，一个证明必须说服其他数学家相信某条推理线是正确的。但是，许多人认为，它还应该提高他们对某一特定陈述为何正确的理解，而不仅仅是提供对其正确性的验证。还有数学家则将计算机视为一种重要的新工具，它将使攻克以前棘手的问题成为可能。解决流体动力学中的大问题的唯一方法，可能是严重依赖计算机辅助。

（编辑：ASP站长网）